Bentuk rata, sfera atau hiperbolik Alam Semesta kita?

2024 Pengarang: Seth Attwood | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2023-12-16 16:12

Pada pandangan kami, alam semesta adalah tidak terhingga. Hari ini kita tahu bahawa Bumi mempunyai bentuk sfera, tetapi kita jarang memikirkan bentuk Alam Semesta. Dalam geometri, terdapat banyak bentuk tiga dimensi sebagai alternatif kepada ruang tak terhingga "biasa". Penulis menerangkan perbezaan dalam bentuk yang paling mudah diakses.

Melihat langit malam, nampaknya angkasa lepas terus ke semua arah. Ini adalah bagaimana kita membayangkan Alam Semesta - tetapi bukan hakikat bahawa ia adalah benar. Lagipun, ada masa apabila semua orang berfikir bahawa Bumi adalah rata: kelengkungan permukaan bumi tidak dapat dilihat, dan idea bahawa Bumi adalah bulat kelihatan tidak dapat difahami.

Hari ini kita tahu bahawa Bumi adalah dalam bentuk sfera. Tetapi kita jarang memikirkan bentuk alam semesta. Apabila sfera menggantikan bumi rata, bentuk tiga dimensi lain menawarkan alternatif kepada ruang tak terhingga "biasa".

Dua soalan boleh ditanya tentang bentuk alam semesta - yang berasingan tetapi saling berkaitan. Salah satunya adalah mengenai geometri - pengiraan sudut dan luas yang teliti. Satu lagi ialah mengenai topologi: bagaimana bahagian yang berasingan bergabung menjadi satu bentuk.

Data kosmologi mencadangkan bahawa bahagian Alam Semesta yang boleh dilihat adalah licin dan homogen. Struktur ruang tempatan kelihatan hampir sama di setiap titik dan di setiap arah. Hanya tiga bentuk geometri yang sesuai dengan ciri-ciri ini - rata, sfera dan hiperbolik. Mari kita lihat bentuk-bentuk ini seterusnya, beberapa pertimbangan topologi dan kesimpulan berdasarkan data kosmologi.

Alam semesta rata

Sebenarnya, ini adalah geometri sekolah. Sudut segi tiga menambah sehingga 180 darjah, dan luas bulatan ialah πr2. Contoh paling mudah bagi bentuk tiga dimensi rata ialah ruang tak terhingga biasa, ahli matematik memanggilnya Euclidean, tetapi terdapat pilihan rata lain.

Tidak mudah untuk membayangkan bentuk-bentuk ini, tetapi kita boleh menghubungkan gerak hati kita dengan berfikir dalam dua dimensi dan bukannya tiga. Sebagai tambahan kepada satah Euclidean biasa, kita boleh mencipta bentuk rata lain dengan memotong sekeping satah dan melekatkan tepinya. Katakan kita memotong sekeping kertas segi empat tepat dan pita di tepi bertentangan dengan pita. Jika anda melekatkan tepi atas ke tepi bawah, anda akan mendapat silinder.

Anda juga boleh melekatkan tepi kanan ke kiri - kemudian kami mendapat donat (ahli matematik memanggil bentuk ini sebagai torus).

Anda mungkin akan membantah: "Sesuatu yang tidak begitu rata." Dan anda akan betul. Kami menipu sedikit tentang torus rata. Jika anda benar-benar cuba membuat torus daripada sekeping kertas dengan cara ini, anda akan menghadapi beberapa kesukaran. Mudah untuk membuat silinder, tetapi ia tidak akan berfungsi untuk melekatkan hujungnya: kertas akan renyuk di sepanjang bulatan dalam torus, tetapi ia tidak akan mencukupi untuk bulatan luar. Jadi anda perlu mengambil beberapa jenis bahan elastik. Tetapi regangan mengubah panjang dan sudut, dan oleh itu keseluruhan geometri.

Adalah mustahil untuk membina torus fizikal licin sebenar daripada bahan rata di dalam ruang tiga dimensi biasa tanpa memesongkan geometri. Ia kekal untuk membuat spekulasi secara abstrak tentang bagaimana rasanya tinggal di dalam torus yang rata.

Bayangkan anda adalah makhluk dua dimensi yang alam semestanya adalah torus rata. Memandangkan bentuk alam semesta ini berdasarkan helaian kertas rata, semua fakta geometri yang kita gunakan kekal sama - sekurang-kurangnya pada skala terhad: sudut segi tiga menambah sehingga 180 darjah, dan seterusnya. Tetapi dengan perubahan dalam topologi global melalui pemangkasan dan pelekatan, kehidupan akan berubah secara mendadak.

Sebagai permulaan, torus mempunyai garis lurus yang gelung dan kembali ke titik permulaan.

Pada torus yang herot, mereka kelihatan melengkung, tetapi bagi penduduk torus yang rata, mereka kelihatan lurus. Dan oleh kerana cahaya bergerak dalam garis lurus, maka jika anda melihat terus ke mana-mana arah, anda akan melihat diri anda dari belakang.

Seolah-olah, pada sekeping kertas asal, cahaya melalui anda, pergi ke tepi kiri, dan kemudian muncul semula di sebelah kanan, seperti dalam permainan video.

Berikut ialah cara lain untuk memikirkannya: anda (atau sinar cahaya) menyeberangi salah satu daripada empat tepi dan mendapati diri anda berada di dalam bilik baharu, tetapi sebenarnya ia adalah bilik yang sama, hanya dari sudut pandangan yang berbeza. Mengembara melalui alam semesta sedemikian, anda akan menemui salinan bilik asal yang tidak terhingga.

Ini bermakna anda akan mengambil salinan diri anda yang tidak terhingga ke mana sahaja anda melihat. Ini adalah sejenis kesan cermin, hanya salinan ini tidak betul-betul pantulan.

Pada torus, setiap daripadanya sepadan dengan satu atau gelung lain, di mana cahaya kembali kepada anda.

Dengan cara yang sama, kita mendapat torus tiga dimensi yang rata dengan melekatkan muka bertentangan kiub atau kotak lain. Kami tidak akan dapat menggambarkan ruang ini di dalam ruang tak terhingga biasa - ia tidak sesuai - tetapi kami akan dapat membuat spekulasi secara abstrak tentang kehidupan di dalamnya.

Jika kehidupan dalam torus dua dimensi adalah seperti tatasusunan dua dimensi yang tidak berkesudahan bilik segi empat tepat yang sama, maka kehidupan dalam torus tiga dimensi adalah seperti tatasusunan tiga dimensi yang tidak berkesudahan bilik kubik yang sama. Anda juga akan melihat salinan anda sendiri yang tidak terhingga.

torus tiga dimensi hanyalah satu daripada sepuluh varian dunia rata terhingga. Terdapat juga dunia rata tak terhingga - contohnya, analog tiga dimensi silinder tak terhingga. Setiap dunia ini akan mempunyai "bilik ketawa" sendiri dengan "renungan".

Bolehkah alam semesta kita menjadi salah satu bentuk rata?

Apabila kita melihat ke angkasa, kita tidak melihat bilangan salinan kita sendiri yang tidak terhingga. Walau apa pun, menghapuskan bentuk rata bukan mudah. Pertama, mereka semua mempunyai geometri tempatan yang sama seperti ruang Euclidean, jadi tidak mungkin untuk membezakannya dengan ukuran tempatan.

Katakan anda juga telah melihat salinan anda sendiri, imej jauh ini hanya menunjukkan cara anda (atau galaksi anda secara keseluruhannya) melihat pada masa lalu yang jauh, memandangkan cahaya telah datang jauh sehingga ia sampai kepada anda. Mungkin kita juga melihat salinan kita sendiri - tetapi berubah sehingga tidak dapat dikenali. Selain itu, salinan yang berbeza berada pada jarak yang berbeza daripada anda, jadi ia tidak sama. Dan selain itu, terlalu jauh sehingga kita masih tidak dapat melihat apa-apa.

Untuk mengatasi kesukaran ini, ahli astronomi biasanya tidak mencari salinan diri mereka sendiri, tetapi untuk mengulangi ciri dalam fenomena yang kelihatan paling jauh - sinaran latar belakang gelombang mikro kosmik, ini adalah peninggalan Big Bang. Dalam amalan, ini bermakna mencari pasangan bulatan dengan corak padanan titik panas dan sejuk - diandaikan bahawa mereka adalah sama, hanya dari sisi yang berbeza.

Ahli astronomi melakukan carian sedemikian pada tahun 2015 terima kasih kepada Teleskop Angkasa Planck. Mereka mengumpulkan data tentang jenis bulatan bertepatan yang kami jangka dapat lihat di dalam torus 3D rata atau bentuk 3D rata yang lain - yang dipanggil plat - tetapi mereka tidak menemui apa-apa. Ini bermakna jika kita hidup dalam torus, maka ia kelihatan sangat besar sehingga mana-mana serpihan berulang terletak di luar alam semesta yang boleh diperhatikan.

Bentuk sfera

Kami sangat biasa dengan sfera dua dimensi - ini adalah permukaan bola, oren atau Bumi. Tetapi bagaimana jika alam semesta kita adalah sfera tiga dimensi?

Melukis sfera tiga dimensi adalah sukar, tetapi mudah untuk menggambarkannya dengan analogi yang mudah. Jika sfera dua dimensi ialah himpunan semua titik pada jarak tetap dari beberapa titik pusat dalam ruang tiga dimensi biasa, sfera tiga dimensi (atau "trisphere") ialah himpunan semua titik pada jarak tetap dari beberapa titik pusat dalam ruang empat dimensi.

Kehidupan di dalam trisfera sangat berbeza daripada kehidupan di ruang rata. Untuk menggambarkannya, bayangkan bahawa anda adalah makhluk dua dimensi dalam sfera dua dimensi. Sfera dua dimensi ialah seluruh Alam Semesta, oleh itu anda tidak dapat melihat ruang tiga dimensi mengelilingi anda dan tidak boleh masuk ke dalamnya. Dalam alam semesta sfera ini, cahaya bergerak melalui laluan terpendek: dalam bulatan besar. Tetapi kalangan ini kelihatan lurus kepada anda.

Sekarang bayangkan bahawa anda dan rakan 2D anda sedang melepak di Kutub Utara, dan dia pergi berjalan-jalan. Bergerak pergi, pada mulanya ia akan beransur-ansur berkurangan dalam bulatan visual anda - seperti dalam dunia biasa, walaupun tidak secepat yang biasa kita lakukan. Ini kerana apabila bulatan visual anda berkembang, rakan anda semakin kurang mengambilnya.

Tetapi sebaik sahaja rakan anda melintasi khatulistiwa, sesuatu yang aneh berlaku: dia mula membesar, walaupun sebenarnya dia terus menjauh. Ini kerana peratusan yang mereka duduki dalam bulatan visual anda semakin meningkat.

Tiga meter dari Kutub Selatan, rakan anda akan kelihatan seperti dia berdiri tiga meter dari anda.

Setelah sampai ke Kutub Selatan, ia akan memenuhi seluruh ufuk yang kelihatan.

Dan apabila tiada sesiapa di Kutub Selatan, ufuk visual anda akan menjadi lebih asing - andalah. Ini kerana cahaya yang anda keluarkan akan merebak ke seluruh sfera sehingga ia kembali.

Ini secara langsung mempengaruhi kehidupan dalam alam 3D. Setiap titik trisphere mempunyai bertentangan, dan jika terdapat objek di sana, kita akan melihatnya di seluruh langit. Sekiranya tiada apa-apa di sana, kita akan melihat diri kita di latar belakang - seolah-olah penampilan kita ditindih pada belon, kemudian dipusingkan ke dalam dan melambung ke seluruh ufuk.

Tetapi walaupun trisphere adalah model asas untuk geometri sfera, ia jauh dari satu-satunya ruang yang mungkin. Memandangkan kami membina model rata yang berbeza dengan memotong dan melekatkan kepingan ruang Euclidean, jadi kami boleh membina model sfera dengan melekatkan kepingan trisfera yang sesuai. Setiap bentuk terpaku ini, seperti torus, mempunyai kesan "bilik ketawa", hanya bilangan bilik dalam bentuk sfera akan terhingga.

Bagaimana jika alam semesta kita berbentuk sfera?

Malah yang paling narsis daripada kita tidak melihat diri kita sebagai latar belakang dan bukannya langit malam. Tetapi, seperti dalam kes torus rata, hakikat bahawa kita tidak melihat sesuatu tidak bermakna sama sekali ia tidak wujud. Sempadan alam semesta sfera boleh lebih besar daripada had dunia yang boleh dilihat, dan latar belakangnya tidak kelihatan.

Tetapi tidak seperti torus, alam semesta sfera boleh dikesan menggunakan ukuran tempatan. Bentuk sfera berbeza daripada ruang Euclidean tak terhingga bukan sahaja dalam topologi global, tetapi juga dalam geometri kecil. Sebagai contoh, memandangkan garis lurus dalam geometri sfera ialah bulatan besar, segi tiga di sana adalah "gemuk" daripada garis Euclidean, dan jumlah sudutnya melebihi 180 darjah.

Pada asasnya, mengukur segi tiga kosmik adalah cara utama untuk memeriksa betapa melengkungnya alam semesta. Untuk setiap titik panas atau sejuk pada latar belakang gelombang mikro kosmik, diameter dan jaraknya dari Bumi, membentuk tiga sisi segitiga, diketahui. Kita boleh mengukur sudut yang dibentuk oleh titik di langit malam - dan ini akan menjadi salah satu sudut segitiga. Kami kemudiannya boleh menyemak sama ada gabungan panjang sisi dan jumlah sudut sepadan dengan geometri satah, sfera atau hiperbolik (di mana jumlah sudut segi tiga kurang daripada 180 darjah).

Kebanyakan pengiraan ini, bersama-sama dengan ukuran kelengkungan lain, mengandaikan bahawa alam semesta sama ada rata atau sangat hampir dengannya. Satu pasukan penyelidik baru-baru ini mencadangkan bahawa beberapa data 2018 daripada Teleskop Angkasa Planck bercakap lebih memihak kepada alam semesta sfera, walaupun penyelidik lain berpendapat bahawa bukti yang dibentangkan boleh dikaitkan dengan ralat statistik.

Geometri hiperbolik

Tidak seperti sfera, yang menutup pada dirinya sendiri, geometri hiperbolik atau ruang dengan kelengkungan negatif terbuka ke luar. Ini adalah geometri topi bertepi lebar, terumbu karang dan pelana. Model asas geometri hiperbolik ialah ruang tak terhingga, sama seperti Euclidean rata. Tetapi oleh kerana bentuk hiperbola mengembang ke luar lebih cepat daripada bentuk rata, tidak ada cara untuk memuatkan walaupun satah hiperbolik dua dimensi di dalam ruang Euclidean biasa, jika kita tidak mahu memesongkan geometrinya. Tetapi terdapat imej yang herot bagi satah hiperbolik yang dikenali sebagai cakera Poincaré.

Dari sudut pandangan kami, segitiga berhampiran bulatan sempadan kelihatan jauh lebih kecil daripada yang berhampiran pusat, tetapi dari sudut geometri hiperbolik, semua segitiga adalah sama. Jika kita cuba untuk menggambarkan segi tiga ini benar-benar saiz yang sama - mungkin menggunakan bahan elastik dan mengembang setiap segi tiga secara bergilir-gilir, bergerak dari tengah ke luar - cakera kita akan menyerupai topi bertepi lebar dan akan semakin bengkok. Dan apabila anda semakin hampir ke sempadan, kelengkungan ini akan hilang kawalan.

Dalam geometri Euclidean biasa, lilitan bulatan adalah berkadar terus dengan jejarinya, tetapi dalam geometri hiperbolik, bulatan berkembang secara eksponen berbanding jejari. Longgokan segi tiga terbentuk berhampiran sempadan cakera hiperbolik

Kerana ciri ini, ahli matematik suka mengatakan bahawa ia adalah mudah untuk hilang dalam ruang hiperbolik. Jika rakan anda menjauhi anda dalam ruang Euclidean biasa, dia akan mula menjauh, tetapi perlahan-lahan, kerana bulatan visual anda tidak berkembang begitu cepat. Dalam ruang hiperbolik, bulatan visual anda mengembang secara eksponen, jadi rakan anda tidak lama lagi akan mengecut menjadi bintik kecil yang tidak terhingga. Jadi, jika anda tidak mengikuti laluannya, anda tidak mungkin menemuinya nanti.

Malah dalam geometri hiperbolik, jumlah sudut segitiga adalah kurang daripada 180 darjah - contohnya, jumlah sudut beberapa segi tiga dari mozek cakera Poincaré hanya 165 darjah.

Bahagian mereka kelihatan tidak langsung, tetapi itu kerana kita melihat geometri hiperbolik melalui kanta yang herot. Bagi penghuni cakera Poincaré, lengkung ini sebenarnya adalah garis lurus, jadi cara terpantas untuk pergi dari titik A ke titik B (kedua-duanya di tepi) adalah melalui potongan ke tengah.

Terdapat cara semula jadi untuk membuat analog tiga dimensi cakera Poincaré - ambil bola tiga dimensi dan isi dengan bentuk tiga dimensi, yang secara beransur-ansur berkurangan apabila ia menghampiri sfera sempadan, seperti segi tiga pada cakera Poincaré. Dan, seperti satah dan sfera, kita boleh mencipta pelbagai ruang hiperbola tiga dimensi yang lain dengan memotong kepingan bola hiperbola tiga dimensi yang sesuai dan melekatkan mukanya.

Nah, adakah Universe kita hiperbola?

Geometri hiperbolik, dengan segi tiga yang sempit dan bulatan yang berkembang pesat, sama sekali tidak seperti ruang di sekeliling kita. Sesungguhnya, seperti yang telah kita perhatikan, kebanyakan ukuran kosmologi condong ke arah alam semesta yang rata.

Tetapi kita tidak boleh menolak bahawa kita hidup dalam dunia sfera atau hiperbola, kerana serpihan kecil kedua-dua dunia kelihatan hampir rata. Sebagai contoh, jumlah sudut segitiga kecil dalam geometri sfera hanya lebih sedikit daripada 180 darjah, dan dalam geometri hiperbolik ia hanya kurang sedikit.

Itulah sebabnya orang dahulu menganggap Bumi itu rata - kelengkungan Bumi tidak dapat dilihat dengan mata kasar. Lebih besar bentuk sfera atau hiperbolik, lebih rata setiap bahagiannya, oleh itu, jika Alam Semesta kita mempunyai bentuk sfera atau hiperbolik yang sangat besar, bahagian yang boleh dilihat adalah sangat hampir dengan rata sehingga kelengkungannya hanya dapat dikesan dengan instrumen ultra-tepat, dan kita belum lagi menciptanya….