Apakah itu fraktal: keindahan matematik dan infiniti

2024 Pengarang: Seth Attwood | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2023-12-16 16:12

Fraktal telah dikenali selama satu abad, telah dikaji dengan baik dan mempunyai banyak aplikasi dalam kehidupan. Walau bagaimanapun, fenomena ini berdasarkan idea yang sangat mudah: pelbagai bentuk, keindahan dan kepelbagaian yang tidak terhingga, boleh diperoleh daripada struktur yang agak mudah menggunakan hanya dua operasi - penyalinan dan penskalaan.

Apakah persamaan pokok, pantai, awan atau saluran darah di tangan kita? Pada pandangan pertama, nampaknya semua objek ini tidak mempunyai persamaan. Walau bagaimanapun, sebenarnya, terdapat satu sifat struktur yang wujud dalam semua objek yang disenaraikan: mereka serupa dengan diri sendiri. Dari dahan, serta dari batang pokok, terdapat dahan yang lebih kecil, dari mereka - bahkan yang lebih kecil, dan lain-lain, iaitu, dahan itu seperti seluruh pokok.

Sistem peredaran darah disusun dengan cara yang sama: arteriol berlepas dari arteri, dan dari mereka - kapilari terkecil di mana oksigen memasuki organ dan tisu. Mari kita lihat imej satelit pantai laut: kita akan melihat teluk dan semenanjung; mari kita lihat, tetapi dari pandangan mata burung: kita akan melihat teluk dan tanjung; Sekarang mari kita bayangkan bahawa kita berdiri di pantai dan melihat kaki kita: selalu ada batu kerikil yang menonjol ke dalam air lebih jauh daripada yang lain.

Iaitu, garis pantai kekal serupa dengan dirinya apabila dizum masuk. Ahli matematik Amerika (walaupun dibesarkan di Perancis) Benoit Mandelbrot memanggil sifat fraktal objek ini, dan objek tersebut sendiri - fraktal (dari fraktus Latin - pecah).

Apakah itu fraktal?

Konsep ini tidak mempunyai definisi yang ketat. Oleh itu, perkataan "fraktal" bukanlah istilah matematik. Lazimnya, fraktal ialah rajah geometri yang memenuhi satu atau lebih sifat berikut: • Ia mempunyai struktur kompleks pada sebarang pembesaran (berbanding dengan, contohnya, garis lurus, mana-mana bahagiannya ialah rajah geometri termudah - a segmen garisan). • Adakah (kira-kira) serupa dengan diri sendiri. • Mempunyai dimensi Hausdorff (fraktal) pecahan, yang lebih besar daripada dimensi topologi. • Boleh dibina dengan prosedur rekursif.

Geometri dan Algebra

Kajian fraktal pada pergantian abad ke-19 dan ke-20 adalah agak episodik daripada sistematik, kerana ahli matematik terdahulu terutamanya mengkaji objek "baik" yang boleh diselidik menggunakan kaedah dan teori umum. Pada tahun 1872, ahli matematik Jerman Karl Weierstrass membina contoh fungsi berterusan yang tidak boleh dibezakan di mana-mana. Walau bagaimanapun, pembinaannya adalah abstrak sepenuhnya dan sukar untuk dilihat.

Oleh itu, pada tahun 1904, Sweden Helge von Koch mencipta lengkung berterusan, yang tidak mempunyai tangen di mana-mana, dan ia agak mudah untuk dilukis. Ternyata ia mempunyai sifat fraktal. Salah satu varian lengkung ini dipanggil "Kepingan salji Koch".

Idea-idea persamaan diri tokoh-tokoh telah diambil oleh orang Perancis Paul Pierre Levy, mentor masa depan Benoit Mandelbrot. Pada tahun 1938, beliau menerbitkan artikelnya "Satah dan lengkung spatial dan permukaan, yang terdiri daripada bahagian yang serupa dengan keseluruhan", yang menerangkan satu lagi fraktal - lengkung C Lévy. Semua fraktal di atas boleh dikaitkan secara bersyarat kepada satu kelas fraktal konstruktif (geometrik).

Kelas lain ialah fraktal dinamik (algebra), yang termasuk set Mandelbrot. Kajian pertama ke arah ini bermula pada awal abad ke-20 dan dikaitkan dengan nama ahli matematik Perancis Gaston Julia dan Pierre Fatou. Pada tahun 1918, memoir Julia hampir dua ratus muka surat, dikhaskan untuk lelaran fungsi rasional yang kompleks, diterbitkan, di mana set Julia diterangkan - seluruh keluarga fraktal yang berkait rapat dengan set Mandelbrot. Karya ini telah dianugerahkan hadiah Akademi Perancis, tetapi ia tidak mengandungi satu ilustrasi pun, jadi mustahil untuk menghargai keindahan objek yang ditemui.

Walaupun fakta bahawa karya ini memuliakan Julia di kalangan ahli matematik pada masa itu, ia dengan cepat dilupakan. Tidak sampai setengah abad kemudian komputer mendapat perhatian semula: merekalah yang menjadikan kekayaan dan keindahan dunia fraktal dapat dilihat.

Dimensi fraktal

Seperti yang anda ketahui, dimensi (bilangan ukuran) bagi rajah geometri ialah bilangan koordinat yang diperlukan untuk menentukan kedudukan titik yang terletak pada rajah ini.

Sebagai contoh, kedudukan titik pada lengkung ditentukan oleh satu koordinat, pada permukaan (tidak semestinya satah) dengan dua koordinat, dalam ruang tiga dimensi dengan tiga koordinat.

Dari sudut pandangan matematik yang lebih umum, anda boleh mentakrifkan dimensi dengan cara ini: peningkatan dalam dimensi linear, katakan, dua kali, untuk objek satu dimensi (dari sudut topologi) (segmen) membawa kepada peningkatan saiz. (panjang) dua kali, untuk dua dimensi (persegi) peningkatan yang sama dalam dimensi linear membawa kepada peningkatan saiz (luas) sebanyak 4 kali, untuk tiga dimensi (kubus) - sebanyak 8 kali ganda. Iaitu, dimensi "sebenar" (yang dipanggil Hausdorff) boleh dikira sebagai nisbah logaritma pertambahan "saiz" objek kepada logaritma pertambahan saiz linearnya. Iaitu, untuk segmen D = log (2) / log (2) = 1, untuk satah D = log (4) / log (2) = 2, untuk volum D = log (8) / log (2) = 3.

Mari kita sekarang mengira dimensi lengkung Koch, untuk pembinaannya segmen unit dibahagikan kepada tiga bahagian yang sama dan selang tengah digantikan dengan segi tiga sama tanpa segmen ini. Dengan peningkatan dalam dimensi linear segmen minimum tiga kali, panjang lengkung Koch meningkat dalam log (4) / log (3) ~ 1, 26. Iaitu, dimensi lengkung Koch adalah pecahan!

Sains dan seni

Pada tahun 1982, buku Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature" telah diterbitkan, di mana penulis mengumpul dan mensistematisasikan hampir semua maklumat yang ada pada masa itu tentang fraktal dan membentangkannya dengan cara yang mudah dan boleh diakses. Dalam pembentangannya, Mandelbrot membuat penekanan utama bukan pada formula rumit dan pembinaan matematik, tetapi pada gerak hati geometri pembaca. Terima kasih kepada ilustrasi yang dijana oleh komputer dan kisah sejarah, yang dengannya pengarangnya dengan mahir mencairkan komponen saintifik monograf, buku itu menjadi buku terlaris, dan fraktal diketahui oleh orang awam.

Kejayaan mereka di kalangan bukan ahli matematik sebahagian besarnya disebabkan oleh fakta bahawa dengan bantuan pembinaan dan formula yang sangat mudah yang boleh difahami oleh pelajar sekolah menengah, imej kerumitan dan keindahan yang menakjubkan diperolehi. Apabila komputer peribadi menjadi cukup berkuasa, malah keseluruhan trend dalam seni muncul - lukisan fraktal, dan hampir mana-mana pemilik komputer boleh melakukannya. Kini di Internet, anda boleh menemui banyak tapak khusus untuk topik ini dengan mudah.

Perang dan keamanan

Seperti yang dinyatakan di atas, salah satu objek semula jadi dengan sifat fraktal ialah garis pantai. Satu kisah menarik dikaitkan dengannya, atau lebih tepatnya, dengan percubaan untuk mengukur panjangnya, yang membentuk asas artikel saintifik Mandelbrot, dan juga diterangkan dalam bukunya "The Fractal Geometry of Nature".

Ini adalah eksperimen yang telah dipentaskan oleh Lewis Richardson, seorang ahli matematik, fizik dan meteorologi yang sangat berbakat dan sipi. Salah satu hala tuju penyelidikannya ialah percubaan untuk mencari penerangan matematik tentang punca dan kemungkinan konflik bersenjata antara kedua-dua negara. Antara parameter yang diambil kira adalah panjang sempadan bersama dua negara yang bertelagah itu. Apabila dia mengumpul data untuk eksperimen berangka, dia mendapati bahawa dalam sumber yang berbeza data pada sempadan bersama antara Sepanyol dan Portugal adalah sangat berbeza.

Ini mendorongnya untuk mengetahui perkara berikut: panjang sempadan negara bergantung pada pembaris yang kita gunakan untuk mengukurnya. Semakin kecil skala, semakin panjang sempadannya. Ini disebabkan oleh fakta bahawa dengan pembesaran yang lebih tinggi adalah mungkin untuk mengambil kira lebih banyak selekoh pantai, yang sebelum ini diabaikan kerana kekasaran pengukuran. Dan jika, dengan setiap peningkatan dalam skala, selekoh garis yang tidak diketahui sebelumnya akan terbuka, maka ternyata panjang sempadan adalah tidak terhingga! Benar, pada hakikatnya ini tidak berlaku - ketepatan ukuran kami mempunyai had yang terhad. Paradoks ini dipanggil kesan Richardson.

Fraktal konstruktif (geometrik)

Algoritma untuk membina fraktal konstruktif dalam kes umum adalah seperti berikut. Pertama sekali, kita memerlukan dua bentuk geometri yang sesuai, mari kita panggil mereka sebagai tapak dan serpihan. Pada peringkat pertama, asas fraktal masa depan digambarkan. Kemudian beberapa bahagiannya digantikan dengan serpihan yang diambil pada skala yang sesuai - ini adalah lelaran pertama pembinaan. Kemudian, angka yang terhasil sekali lagi mengubah beberapa bahagian menjadi angka yang serupa dengan serpihan, dan seterusnya. Jika kita meneruskan proses ini selama-lamanya, maka dalam had kita mendapat fraktal.

Mari kita pertimbangkan proses ini menggunakan lengkung Koch sebagai contoh. Sebagai asas untuk lengkung Koch, anda boleh mengambil mana-mana lengkung (untuk "Kepingan salji Koch" ia adalah segi tiga). Tetapi kami akan mengehadkan diri kami kepada kes yang paling mudah - segmen. Serpihan ialah garis putus yang ditunjukkan di bahagian atas dalam rajah. Selepas lelaran pertama algoritma, dalam kes ini, segmen awal akan bertepatan dengan serpihan, maka setiap segmen konstituennya akan digantikan dengan garis putus, serupa dengan serpihan, dsb. Rajah menunjukkan empat langkah pertama bagi proses ini.

Dalam bahasa matematik: fraktal dinamik (algebra)

Fraktal jenis ini timbul dalam kajian sistem dinamik tak linear (oleh itu namanya). Kelakuan sistem sedemikian boleh diterangkan oleh fungsi tak linear kompleks (polinomial) f (z). Ambil beberapa titik permulaan z0 pada satah kompleks (lihat bar sisi). Sekarang pertimbangkan urutan nombor yang tidak terhingga pada satah kompleks, setiap satu daripada yang berikut diperoleh daripada yang sebelumnya: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn).

Bergantung pada titik awal z0, jujukan sedemikian boleh berkelakuan berbeza: cenderung kepada infiniti sebagai n -> ∞; menumpu ke beberapa titik akhir; kitaran mengambil beberapa nilai tetap; pilihan yang lebih kompleks juga boleh dilakukan.

Nombor kompleks

Nombor kompleks ialah nombor yang terdiri daripada dua bahagian - nyata dan khayalan, iaitu jumlah formal x + iy (di sini x dan y ialah nombor nyata). saya adalah yang dipanggil. unit khayalan, iaitu, nombor yang memenuhi persamaan i ^ 2 = -1. Operasi asas matematik ditakrifkan ke atas nombor kompleks - penambahan, pendaraban, pembahagian, penolakan (hanya operasi perbandingan tidak ditakrifkan). Untuk memaparkan nombor kompleks, perwakilan geometri sering digunakan - pada satah (ia dipanggil kompleks), bahagian sebenar diletakkan pada abscissa, dan bahagian khayalan pada ordinat, manakala nombor kompleks akan sepadan dengan titik dengan Cartesian. koordinat x dan y.

Oleh itu, mana-mana titik z bagi satah kompleks mempunyai sifat tingkah lakunya sendiri semasa lelaran fungsi f (z), dan keseluruhan satah dibahagikan kepada bahagian. Dalam kes ini, titik yang terletak pada sempadan bahagian ini mempunyai sifat berikut: untuk anjakan kecil yang sewenang-wenangnya, sifat tingkah laku mereka berubah secara mendadak (titik tersebut dipanggil titik bifurkasi). Jadi, ternyata set mata dengan satu jenis tingkah laku tertentu, serta set titik bifurkasi, selalunya mempunyai sifat fraktal. Ini ialah set Julia untuk fungsi f (z).

Keluarga naga

Dengan mempelbagaikan asas dan serpihan, anda boleh mendapatkan pelbagai jenis fraktal konstruktif yang menakjubkan.

Selain itu, operasi serupa boleh dilakukan dalam ruang tiga dimensi. Contoh fraktal isipadu ialah span Menger, piramid Sierpinski dan lain-lain.

Keluarga naga juga dirujuk sebagai fraktal konstruktif. Kadang-kadang mereka dipanggil dengan nama penemu "naga Highway-Harter" (dalam bentuk mereka menyerupai naga Cina). Terdapat beberapa cara untuk memplot keluk ini. Yang paling mudah dan paling intuitif ialah ini: anda perlu mengambil jalur kertas yang cukup panjang (semakin nipis kertas itu, lebih baik), dan lipat dua. Kemudian bengkokkannya dua kali lagi ke arah yang sama seperti kali pertama.

Selepas beberapa ulangan (biasanya selepas lima atau enam lipatan, jalur menjadi terlalu tebal untuk dibengkokkan lagi dengan kemas), anda perlu membuka jalur itu ke belakang, dan cuba membentuk sudut 90˚ pada lipatan. Kemudian lengkung naga akan muncul dalam profil. Sudah tentu, ini hanya akan menjadi anggaran, seperti semua percubaan kami untuk menggambarkan objek fraktal. Komputer membolehkan anda menggambarkan lebih banyak langkah dalam proses ini, dan hasilnya adalah angka yang sangat cantik.

Set Mandelbrot dibina dengan cara yang sedikit berbeza. Pertimbangkan fungsi fc (z) = z ^ 2 + c, dengan c ialah nombor kompleks. Mari kita bina jujukan fungsi ini dengan z0 = 0, bergantung pada parameter c, ia boleh menyimpang kepada infiniti atau kekal terikat. Selain itu, semua nilai c yang mana jujukan ini dibatasi membentuk set Mandelbrot. Ia dikaji secara terperinci oleh Mandelbrot sendiri dan ahli matematik lain, yang menemui banyak sifat menarik set ini.

Ia dilihat bahawa definisi set Julia dan Mandelbrot adalah serupa antara satu sama lain. Sebenarnya, kedua-dua set ini berkait rapat. Iaitu, set Mandelbrot ialah semua nilai parameter kompleks c yang mana set Julia fc (z) disambungkan (satu set dipanggil bersambung jika ia tidak boleh dipecahkan kepada dua bahagian terputus-putus, dengan beberapa syarat tambahan).

Fraktal dan kehidupan

Hari ini, teori fraktal digunakan secara meluas dalam pelbagai bidang aktiviti manusia. Sebagai tambahan kepada objek saintifik semata-mata untuk penyelidikan dan lukisan fraktal yang telah disebutkan, fraktal digunakan dalam teori maklumat untuk memampatkan data grafik (di sini sifat persamaan diri fraktal digunakan terutamanya - selepas semua, untuk mengingati serpihan kecil lukisan dan transformasi yang anda boleh mendapatkan bahagian yang lain, lebih kurang memori yang diperlukan daripada menyimpan keseluruhan fail).

Dengan menambahkan gangguan rawak pada formula yang mentakrifkan fraktal, seseorang boleh mendapatkan fraktal stokastik yang sangat munasabah menyampaikan beberapa objek sebenar - elemen pelepasan, permukaan badan air, beberapa tumbuhan, yang berjaya digunakan dalam fizik, geografi dan grafik komputer untuk mencapai lebih besar. persamaan objek simulasi dengan sebenar. Dalam elektronik, antena dihasilkan yang mempunyai bentuk fraktal. Mengambil sedikit ruang, mereka menyediakan penerimaan isyarat yang agak berkualiti tinggi.

Ahli ekonomi menggunakan fraktal untuk menerangkan keluk kadar mata wang (harta yang ditemui oleh Mandelbrot). Ini menyimpulkan lawatan kecil ini ke dunia fraktal yang sangat cantik dan pelbagai.